幸而咱们是日子在三维空间中​:空间维度、数学与物理实际的偶尔

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发布时间:2022-08-05 15:14:51来源:华体会登陆入口 作者:华体会登录网址

  咱们日子在一个三维物理空间里,这看似很偶尔,但是用拓扑学、几许学、量子力学、几许代数什么的随意那么一想,发现或许是必定的哦。

  有些事儿,不能细想,细想起来能把自己吓一跳,比方咱们的物理空间是三维的这件事儿。咱们的物理空间是三维的,这个知道来自人类对运动自由度的感知。运动起来有三个自由度,曰上下、曰左右、曰前后,这一点地球人都知道,并且很早就知道了。德国文学家席勒(Friedrich Schiller, 1759-1805)谈空间的维度竟然会借俺们我国的孔老夫子之口,用Sprüche des Konfuzius (孔夫子的告诫)为题诌了几句诗:

  这意思是说,咱们的物理空间是三维的、无限的,能够用R3表明,R代表实数。文学家体认到的物理实际,都是坚实的物理实际。

  那么,问题来了,为什么咱们的物理空间是三维的呢?或许说,咱们的物理空间是三维的有什么特别的好处或许考究吗?

  一个一挥而就就能得到的答案是,空间的维度应该足够多,而从三开端才干算多。在中文里,三人为众,世人的人数便是不定的 (indefinite) 了,而在一些太平洋岛国的文字里,数字爽性就只有一、二、多。这阐明三就给人以足够多的感觉了,不过这么解说不行科学。科学点儿的证明能够以拓扑学的面貌呈现。假定咱们确定生命遵照热力学第二定律,需求摄入物质以保持其有序结构,用大白话说便是生命的详细进程至少要包括吃喝和拉撒这两种功用。从空间的视点来看,咱们假定从吃喝所需的进口 (inlet) 到拉撒所需的出口 (outlet) 的衔接 (connection. 不了解这个词不足以谈广义相对论和微分几许) 是个一维的结构 (D=1,不能再少了),那么能够承载这个一维结构的结构就至少是三维的。在二维空间里,一个有限巨细的生命个别假如要建立起一个从其表面上一点 (作为进口) 到另一点 (作为出口) 的衔接,则这个衔接会硬生生地把它剌成两半儿 (图1)。这阐明本来说它是一个有限巨细的生命个别的假定不建立。容许生命呈现的空间至少应是三维的, Dmin=3。QED!图1. 二维空间里的有限生命无法建立起从其表面上一点到另一点的衔接。

  物理的空间维度能够更高吗,比方D=4?或许,已然自然选择了D=3 ,那有什么令人心服口服的考究呢?笔者顺着这个思路一想,发现还真有。容笔者声明,如下证明用的是科学且证明进程形似科学,但证明进程未必严厉。

  首要,有等式 3-2=1,和 3=2(2+1)/2 。这是想说什么呢?这是想说曲折流形在平直空间里的镶嵌问题。关于恣意的一个n-维的黎曼流形 (简略地了解为润滑的物体就行),施莱夫利 (Ludwig Schläfli, 1814-1895) 于1873年猜想其一块有限区域(原则上应假定其是曲折的)的打开铺平一般要求一个 n(n+1)/2 维的镶嵌空间。咱们假定这个关于镶嵌空间维度的最低要求是正确的 (有爱好的读者请去研讨纳什镶嵌定理)。至少关于二维流形,比方球面,的确能够在三维的平直空间里打开铺平。这意味着,在三维空间里日子的咱们,能用平直的皮革去缝制球面。此外,留意,3-2=1, 二维曲折流形放在三维平直镶嵌空间里,还有一个自由度的冗余,能够用于发生形变。这供给了驱动球类运动起来的或许性 (图2) 。这个物理空间是三维的实际确保了咱们能制造球且能享用各种球类运动的欢喜。假如物理空间是四维的,二维的球面当然能够镶嵌入四维空间了,在其间还能够有两个自由度的驱动。这下麻烦了,四维空间里的二维球面运动会很杂乱,估量绝大部分人就玩不来了——三维空间里还有人玩不来球 (面) 呢。没有球类运动的国际里人类怎样生计,莫非让咱们整天研讨几许不成?图2. 三维空间里能够有一般拓扑意义上的球,还留出个自由度供其形变。

  再从量子力学的视点考虑物理空间的维度该是多少。调查一个各项同性的源,管它宣布去的是什么东西。在远离源的当地,这个宣布去的东西的浓度就和在那个间隔上以源为中心的球面之面积成反比。在三维空间中,球面的面积为 S=4πr2 ,故该源宣布的东西在间隔r处的浓度就满意联系式

  是怎样回事儿了。这两个公式是相同的,都是来自物理空间是三维的这个实际,仅仅时代不同未能写成相同的方式——你要留意到电荷有极性而质量没有极性你就能遽然了解点儿什么。这个不必管,这个

  , n=1, 2, 3…。这个东拼西凑最终得到的能量公式能完美地解说氢原子的光谱,让人乐意信任它是正确的。图3. 三维空间里点源宣布的东西之浓度与间隔的联系示意图

  好了。上述解的进程中引进了三个量子数(nlm) ,加上自旋量子数ms (也是源于空间是三维的实际,见下),共是四个量子数(nlm; ms)。这四个量子数的取值规矩,使得对给定的n,(nlm; ms)的组合共有 2n2 个或许 (细节请读者自行补足) 。2n2=2, 8, 18, 32(=18+14),…,这解说了元素周期表的长相 (图4)。

  那么,假如空间不是三维的,而是比方说四维的,这氢原子的量子力学问题会是怎样的呢?在四维空间里,球面的面积为 S=2π2r3,氢原子的哈密顿量为

  ,在这种景象下,连哈密顿算符H是否是自随同的,以及能量是否有下界,都是个依靠力常数k巨细的问题。能量本征值的解析解没能得到,想得到一组量子数来解说元素周期表那更是没指望了!想象一下,在四维空间中日子的才智生命面临一堆元素给列出了个周期表却找不到理由,那得多堵心?图4. 一组量子数(nlm; ms)的取值规矩解说了元素周期表的长相

  已然说到了自旋,就不得不谈谈滚动问题了。咱们了解的角动量、自旋都有三个重量,还构成李代数,

  咱们知道二维空间的滚动能够用复数 z= x+iy 以乘法来表明,也能够用实 2×2 单位矩阵

  以乘法来表明。关于三维空间里的滚动,哈密顿 (William Rowan Hamilton, 1805-1865, 便是哈密顿量的那个哈密顿) 企图引进 w=x+iy+jz 方式的数 (triplet) 来描绘,发现这种数乘法不关闭。此路不通。1843年,哈密顿灵机一动引进了四元数 (quaternion), Q=a+xi+yj+zk ,其间 i2=j2=k2=-1,ij=-ji=k 。所谓的 ij=k 反映的便是咱们所说的右手定则,自然是关于滚动的。依照哈密顿的了解,四元数里的 a 是标量 (能够拿去对应时刻以开展几许观念下的相对论),而 v=xi+yj+zk 便是咱们熟知的三维空间里的矢量,其滚动由和单位四元数的共轭算法得到,v=qvq* (知道这些内容,再去看量子力学里怎样描绘滚动就了解多了)。看起来很完美,对不?不过这儿埋了个雷。着重一句,含三维矢量(对应三维物理空间) 的四元数是可除的,而三元数、五元数,其矢量部分应该对应二维空间和四维空间吧,就不或许是可除的!不行除,那用途就不大了。

  留意,哈密顿把四元数 Q=a+xi+yj+zk 里的 v=xi+yj+zk 叫作矢量,而咱们用角动量、自旋描绘滚动,一般书里会说角动量是赝矢量。赝矢量,那是和矢量有啥不同的吧?但是,在处理滚动的时分,许多论文、教科书又让咱们觉得好像是一回子事儿似的。问题出在哪儿呢?答案是, v=xi+yj+zk 底子就不是矢量,而是和角动量、自旋相同应该是赝矢量,或许用几许代数的言语,切当地说是二矢量 (bivector)。二矢量的物理历史上被误解为是矢量的物理,在三维物理空间里切实发生过,那阐明这个过错是有道理的,由于 3-2=1,二矢量和矢量在三维空间里是互为对偶的。由于这个对偶联系,早年的电动力学就没被正确表明过,这也是许多电动力学的内容越解说越令人模糊的原因。

  设三维空间的三个正交基 (矢量) 为e1, e2, e3,则由其所构成的克利福德代数的八个基为1; e1, e2, e3; e1e2, e2e3, e3e1; e1e2e3 ,这其间的三个二矢量 e1e2, e2e3, e3e1 恰好是线性独立的,且构成一个三维矢量空间。更重要、更可巧的是,二矢量的对易式 (量子力学最考究这个的了) 也必定是一个二矢量,这个是李代数的根底。角动量、自旋,以及未来标准场论里遇到的那些场,都是要用李群和李代数处理的。假如是在非三维空间,其二矢量的对易式就不是二矢量,估量就没有李代数和量子力学了。

  上述这些内容,构成咱们物理学的主要内容,其建立的条件是物理空间是三维的。风趣的是,描绘其间物理所用到的数学指向了三维空间的特殊性。假定,更高维的空间就不提了,咱们是日子在四维空间中的,那能否还能开展出了解这个物理国际的数学呢?以笔者的了解,那是相当地不达观。这样想来,还真幸而咱们是日子在三维空间的。

  有长于抬杠的读者或许会说,四维物理空间的才智生物所开展出的数学,或许是指向四维空间才是合理、可巧得丧尽天良的呢?谁知道呢,或许吧!

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  原标题:《幸而咱们是日子在三维空间中​:空间维度、数学与物理实际的偶尔丨贤说八道》

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